Dynamic torque compensation via finite-time identification
for the control of a one-degree-of-freedom pendulum
RESUMEN
Este trabajo aborda el problema de la incertidumbre paramétrica en la
inercia de sistemas mecánicos no lineales, centrando el estudio en un
péndulo de un solo eslabón sometido a variaciones dinámicas de carga. El
objetivo principal es garantizar la robustez del seguimiento de
trayectoria mediante la integración de una técnica de identificación
algebraica propuesta por Fliess y un esquema de control por par
calculado. La metodología se fundamenta en la manipulación de las
ecuaciones diferenciales en el dominio complejo de Laplace, aplicando
operadores de aniquilación para eliminar la dependencia de las
condiciones iniciales desconocidas. Mediante el uso de integrales
iteradas, el estimador logra aislar el valor de la inercia en tiempo
finito, proporcionando una señal filtrada y robusta ante el ruido
sensorial que caracteriza a los sensores reales. Para validar la
propuesta, se realizaron simulaciones numéricas en MATLAB con un tiempo
de muestreo de un milisegundo, evaluando métricas críticas como el error
cuadrático medio (RMSE) y la integral del error absoluto ponderado por
el tiempo (ITAE). Los resultados demuestran que el controlador adaptable
logra una mejora superior al 68% en la precisión del seguimiento y una
reducción del 90% en el error acumulado en comparación con un control
nominal de parámetros fijos. El sistema demostró una transición
eficiente de perturbaciones internas oscilatorias continuas a respuestas
transitorias mínimas de forma triangular, confirmando que la
actualización paramétrica en línea permite mantener la estabilidad y el
desempeño invariante del lazo cerrado frente a cambios estructurales
imprevistos en el hardware operativo.
Palabras clave: técnica de Fliess, incertidumbre dinámica, métricas de desempeño, principio de certeza equivalente, aniquilación algebraica
ABSTRACT
This work addresses the problem of parametric uncertainty in the
inertia of nonlinear mechanical systems, focusing the study on a
single-link pendulum subjected to dynamic load variations. The main
objective is to guarantee trajectory tracking robustness by integrating
an algebraic identification technique proposed by Fliess and a computed
torque control scheme. The methodology is based on the manipulation of
differential equations in the complex Laplace domain, applying
annihilation operators to eliminate dependency on unknown initial
conditions. Through the use of iterated integrals, the estimator manages
to isolate the inertia value in finite time, providing a filtered and
robust signal against the sensory noise that characterizes real sensors.
To validate the proposal, numerical simulations were performed in MATLAB
with a sampling time of one millisecond, evaluating critical metrics
such as the root mean square error (RMSE) and the integral of
time-weighted absolute error (ITAE). The results demonstrate that the
adaptive controller achieves an improvement of over 68% in tracking
precision and a 90% reduction in cumulative error compared to a
fixed-parameter nominal control. The system demonstrated an efficient
transition from continuous oscillatory internal disturbances to minimal
triangular-shaped transient responses, confirming that online parametric
updating allows for maintaining stability and invariant closed-loop
performance in the face of unforeseen structural changes in the
operating hardware.
En la era de la automatización industrial y la robótica de alta
precisión, la capacidad de los sistemas mecánicos para ejecutar tareas
con errores mínimos es un requisito fundamental. Los sistemas de un
grado de libertad (1-GDL) pueden ser ejemplificados por un péndulo
simple debido a la facilidad con la que se pueden mostrar conceptos
claves [1], [2], por lo que representan la unidad
básica de análisis para una vasta gama de mecanismos, desde
articulaciones de brazos robóticos y sistemas de apertura de compuertas,
hasta estabilizadores de carga en grúas automatizadas. Sin embargo, la
transición de los modelos teóricos a la implementación en entornos
reales revela una brecha crítica: la presencia de incertidumbres
paramétricas y su impacto en el control robusto [3].
La mayoría de las estrategias de control tradicionales, como el PID o
el LQR, se sintonizan basándose en parámetros nominales, que son valores
constantes obtenidos mediante mediciones estáticas o especificaciones de
catálogo del fabricante, tales como la masa del eslabón, la longitud de
la barra o el coeficiente de fricción del rodamiento. No obstante, un
sistema mecánico real es una entidad dinámica y cambiante [4].
Cuando un controlador se sintoniza para una inercia nominal (\(J_0\)), su desempeño está optimizado
estrictamente para ese valor, por lo que si el parámetro experimenta una
desviación, el comportamiento del sistema en lazo cerrado deja de ser
óptimo. Matemáticamente, esto se traduce en un movimiento de los polos
del sistema hacia regiones de menor estabilidad, lo que físicamente se
manifiesta como aumento del sobrepaso, oscilaciones sostenidas o error
en estado estacionario [5].
En aplicaciones de manipulación, un brazo robótico puede llegar a
transportar objetos de distintas masas y geometrías, lo que implica que
cada nuevo objeto altera instantáneamente la inercia del sistema [6].
Metodología
Esta sección se divide en tres pilares fundamentales: primero, la
derivación matemática de la dinámica del sistema mediante el formalismo
de Euler-Lagrange, identificando la inercia como el parámetro crítico de
incertidumbre; segundo, el desarrollo de la técnica de identificación
algebraica de Fliess; y finalmente, el diseño del controlador por par
calculado.
Dinámica del Sistema
Se considera un péndulo de 1-GDL. Es usual que se considere un
péndulo compuesto por una varilla rígida de longitud \(L_B\), masa \(m_B\) e inercia \(J_B\), la cual se mueve bajo un par
rotacional \(\tau\) aplicado a su
extremo articulado. Por facilidad se supondrá que es un péndulo simple,
es decir, la varilla es de masa e inercia despreciables, conservándose
solo como un sólido de longitud \(L\).
Figura 1. Representación esquemática del
sistema mecánico, comparando (a) el péndulo real con masa y geometría
compleja frente al (b) modelo de péndulo simple utilizado para la
derivación del modelo dinámico de control.
La ecuación de movimiento no lineal que describe la dinámica del
péndulo es: \[\begin{equation}
J \ddot{\theta}(t) + b \dot{\theta}(t) + m g L \sin(\theta(t)) =
\tau(t) \label{eq: modelo}
\end{equation}\]
Estimación Algebraica de la
Inercia
Se emplea la técnica de identificación algebraica propuesta por
Fliess [7]. El objetivo central es aislar el
parámetro \(J\) mediante el uso de
operadores de aniquilación. Se define una variable auxiliar de
excitación \(v(t)\): \[\begin{equation}
v(t) = \tau(t) - b \dot{\theta}(t) - m g L \sin(\theta(t))
\label{eq:auxiliar}
\end{equation}\]
El desarrollo se llevó a cabo en MATLAB R2022b, empleando una
frecuencia de muestreo de 1 kHz (\(T_s=0.001\) s).
Tabla 1. Parámetros físicos del
péndulo
Parámetro
Símbolo
Magnitud
Unidades
Masa puntual
m
1
kg
Longitud del brazo
L
0.5
m
Coeficiente de fricción
b
0.1
N\(\cdot\)m\(\cdot\)s/rad
Inercia (calculada)
J
0.25
kg\(\cdot\)m\(^2\)
Gravedad
g
9.81
m/s\(^2\)
Figura 2. Decaimiento
libre
Figura 3. Respuesta al
escalón
Figura 4. Validación del comportamiento
dinámico del péndulo en lazo abierto mediante pruebas de (a) respuesta
transitoria ante condiciones iniciales y (b) seguimiento de referencia
tipo escalón.
La Fig. 3 muestra la convergencia de la
estimación \(\hat{J}(t)\) frente a la
inercia real del sistema.
Figura 5. Evolución temporal del
parámetro de inercia estimado mediante la técnica de identificación
algebraica de Fliess, demostrando la convergencia rápida y robusta hacia
el valor real del sistema en tiempo finito.
Conclusiones
Se demostró que la técnica de identificación algebraica de Fliess
supera las limitaciones de los estimadores asintóticos tradicionales.
Los resultados confirman que el control adaptable indirecto logra una
"invariancia de desempeño".
Créditos de los
Autores
Alvarez Sánchez, Ervin Jesús:
Conceptualización, Metodología, Redacción - borrador original. Aldana Franco, Fernando: Conceptualización, Validación,
Redacción - revisión y edición. Leyva Retureta, José Gustavo: Metodología, Software,
Redacción - revisión y edición. Sánchez Moreno, Alejandro: Validación, Redacción -
revisión y edición.
[1]
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Science, Engineering and Technology, vol. 8, no. 1, pp. 214–218,
2025, doi: 10.30967/IJCRSET/Diriba-Gonfa-Tolasa/168.
[3]
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[5]
Y.
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M.
Fliess and H. Sira-Ramirez, “An algebraic framework for linear
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